Question

冪函數f（x）的圖象過點（

3

，3），若函數g（x）=f（x）+1在區間[m，2]上的值域是[1，5]，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：冪函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：利用冪函數的定義可得f（x）=x²，函數g（x）=f（x）+1=x²+1．再利用二次函數的單調性與值域即可得出．

解答： 解：設冪函數f（x）=x^α（α為常數）．
∵冪函數f（x）的圖象過點（

3

，3），
∴3=(

3

)α，解得α=2．
∴f（x）=x²．
∴函數g（x）=f（x）+1=x²+1．
∴g（x）在（-∞，0]單調遞減，在[0，+∞）單調遞增．
而f（0）=1，f（2）=f（-2）=5．
又函數g（x）在區間[m，2]上的值域是[1，5]，
∴-2≤m≤0．
∴實數m的取值范圍是-2≤m≤0．
故答案為：[-2，0]．

點評：本題考查了冪函數的定義、二次函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．