Question

針對酒后駕車經常造成的嚴重交通事故，國家質量監督檢驗檢疫局2004年5月31日發布了新的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準，新標準規定，駕駛人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升、小于80毫克/100毫升的行為屬于飲酒駕車，含量大于（等于）80毫克/100毫升的行為屬于醉酒駕車．經過測算一般情況下，成人飲用1杯啤酒后，血液中酒精濃度就可達到20mg/100ml，即構成飲酒駕駛的處罰條件．飲用2瓶啤酒或3兩低度白酒后，血液酒精濃度可達到80mg/100ml，即構成醉酒駕駛處罰條件．
經過統計成人在飲用2瓶啤酒或3兩低度白酒后血液中酒精濃度隨時間變化的函數為f(x)=

a 3 x3- 5 2 ax2+6ax+b，0.5≤x≤3 k1 x ，3＜x≤9 k2e- 9 5 x，x≥9

現測得某人在飲酒后2小血液中酒精含量82，3小時含量68．（參考數據：e

9

5

≈

411

68

，e2.04≈

137

20

）
（1）求a，b，k₁，k₂；
（2）此人飲酒后血液中酒精濃度什么時候最大？最大值是多少？
（3）此人經過多少時間可以駕車？

Answer 1

分析：（1）根據某人在飲酒后2小時血液中酒精含量82，3小時含量68，建立關于a，b的方程組，從而可求出a，b的值，進而可求出k₁，k₂的值；
（2）先利用導數求出函數在[0.5，3]上的最大值，然后利用函數的單調性求出在[3，+∞）上的最大值，再比較可得函數在[0.5，+∞）上最大值，從而求出所求；
（3）根據（2）可知需超出9個小時，故令k₂e-

9

5

x≤20，求出x即可求出所求．

解答：解：（1）∵某人在飲酒后2小時血液中酒精含量82，3小時含量68，
∴

f(2)=82 f(3)=68

即

14 3 a+b=82 9 2 a+b=68

，
解得

a=84 b=-310

，
∵

k1

3

=68，∴k₁=204
∴f（9）=

204

9

=k2e-

9

5

×9，
解得：k₂=

137×4118

688

；
（2）當0.5≤x≤3時，f（x）=28x³-210x²+504x-310，
∴f′（x）=84x²-420x+504，
令f′（x）=0，解得：x=2或3，
當0.5≤x＜2時，f′（x）＞0，
當2＜x≤3時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0.5，3]上的最大值為f（2）=82，
當3≤x≤9時，函數f（x）單調遞減，故最大值為f（3）=68，
當9≤x時，函數f（x）單調遞減，故最大值為f（9）=

68

3

，
綜上所述：此人飲酒后血液中酒精濃度3個小時候最大，最大值是82；
（3）根據（2）可知需超出9個小時，
故令

137×4118

688

e-

9

5

x≤20，
即e-

9

5

x≤

20×688

137×4118

=e-2.04e-

9

5

×8=e-

9

5

×8-2.04，
∴x≥8+

10.2

9

≈9.13，
∴此人經過9.13小時可以駕車．

點評：本題主要考查了分段函數求解析式，以及求函數的最值，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力，屬于中檔題．