Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設A，B是橢圓C上的兩點，△AOB的面積為.若A、B兩點關于x軸對稱，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.如果＝t，求實數t的值．

Answer 1

（1）＋y²＝1
（2）t＝2或t＝

(1)設橢圓C的方程為：(a＞b＞0)，
則，解得a＝，b＝1，
故橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)由于A、B兩點關于x軸對稱，可設直線AB的方程為x＝m(－＜x＜，且m≠0)．
將x＝m代入橢圓方程得|y|＝，
所以S_△AOB＝|m| ＝.
解得m²＝或m²＝.①
又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，
又點P在橢圓上，所以＝1.②
由①②得t²＝4或t²＝.
又因為t＞0，所以t＝2或t＝.