Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，△AOB和△COD為兩等腰直角三角形，A（－2，0），C（a,0）（a>0）。設△AOB和△COD的外接圓圓心分別為M，N。

   （1）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；

   （2）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標準方程；

   （3）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為，若存在，求此時⊙N的標準方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）圓心．

∴圓方程為，

直線CD方程為．   

∵⊙M與直線CD相切，

∴圓心M到直線CD的距離d=，         

化簡得： （舍去負值）．

∴直線CD的方程為．            

（2）直線AB方程為：，圓心N ．

∴圓心N到直線AB距離為．  

∵直線AB截⊙N的所得弦長為4，

∴．

∴a=±（舍去負值） ．                                

∴⊙N的標準方程為．                   

（3）存在．

由（2）知，圓心N到直線AB距離為（定值），且AB⊥CD始終成立，

∴當且僅當圓N半徑，即a=4時，

⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為 ．       

此時，⊙N的標準方程為．