Question

求函數(shù)y=

2

x-1

在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先證明函數(shù)的單調(diào)性，用定義法，由于函數(shù)y=

2

x-1

在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)，故最大值在左端點(diǎn)取到，最小值在右端點(diǎn)取到，求出兩個(gè)端點(diǎn)的值即可．

解答：解：設(shè)x₁、x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)y=

2

x-1

是區(qū)間[2，6]上的減函數(shù)，
因此，函數(shù)y=

2

x-1

在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，
即當(dāng)x=2時(shí)，y_max=2；當(dāng)x=6時(shí)，y_min=

2

5

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，用單調(diào)性求最值是單調(diào)性的最重要的應(yīng)用．