Question

已知點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N^*）順次為直線y=

x

4

+

1

12

上的點，點A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…A_n（x_n，0），…（n∈N^*）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對任意的n∈N^*，點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）證明：數列{y_n}是等差數列；
（Ⅱ）求證：對任意的n∈N^*，x_n+2-x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此時a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把B_n坐標代入直線方程可得yn=

n

4

+

1

12

，由等差數列定義可證；
（Ⅱ）由題意可得

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*）①，又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）②，②-①得x_n+2-x_n=2，則奇數項、偶數項均構成等差數列，分別求出即可；
（Ⅲ）當n為奇數、當n為偶數時可分別求得|A_nA_n+1|，作x軸垂線，垂足為C_n，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1為直角三角形，必須且只需|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，分n為奇數、偶數兩種情況可求得a值；

解答：解：（Ⅰ）依題意有yn=

n

4

+

1

12

，于是yn+1-yn=

1

4

．
所以數列{y_n}是等差數列．
（Ⅱ）由A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形，得

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*）①，
所以又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）．②
由②-①得x_n+2-x_n=2，
可知x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差數列．
那么得x_2k-1=x₁+2（k-1）=2k+a-2，x_2k=x₂+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N^*）
故xn=

n+a-1 (n為奇數) n-a (n為偶數)

；
（Ⅲ）當n為奇數時，A_n（n+a-1，0），A_n+1（n+1-a，0），所以|A_nA_n+1|=2（1-a）；
當n為偶數時，A_n（n-a，0），A_n+1（n+a，0），所以|A_nA_n+1|=2a；
作x軸垂線，垂足為C_n，則|BnCn|=

n

4

+

1

12

，
要使等腰三角形A_nB_nA_n+1為直角三角形，必須且只需|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|．
當n為奇數時，有2(1-a)=2(

n

4

+

1

12

)，即12a=11-3n．①
當n=1時，a=

2

3

；當n=3時，a=

1

6

；當n≥5，①式無解．
當n為偶數時，有12a=3n+1，同理可求得a=

7

12

．
綜上所述，上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中存在直角三角形，此時a的值為

2

3

或

1

6

或

7

12

．

點評：本題考查等差數列與函數的綜合，考查學生分析問題解決問題的能力，考查分類討論思想，知識點較多，能力要求較高．