Question

給出下列命題：
①“sinα＞sinβ”是“α＞β”的既不充分又不必要條件；
②若f（x）在某區間M上為增函數，則對于該區間上的任意x，總有f′（x）＞0；
③設空間任意一點O和不共線三點A、B、C，若點P滿足向量關系

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，則P、A、B、C四點共面；
④若取值為x₁，x₂，x₃…x_n的頻率分別為p₁，p₂，p₃…p_n，則其平均數為

n

i=1

xipi．
其中所有真命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①由題意看命題“sinα＞sinβ”，與命題“α＞β”，是否能互推，然后根據必要條件、充分條件和充要條件的定義進行判斷．
②因為函數f（x）為增函數，可得f′（x）≥0，根據此結論進行判斷．
③從共面向量定理出發，判斷對于空間任意一點O和不共線三點A，B，C，點P滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，如果點P、A、B、C四點共面，必須滿足x+y+z=1條件，可以判斷選項③的正誤．
④根據平均數的計算公式即可判斷其真假．

解答：解：①∵“sinα＞sinβ
若2kπ＜α，β＜

π

2

+2kπ（k∈N），
此時有α＞β，在別的象限則不一定成立，
反之不一定成立，
∴甲是乙既不充分也不必要條件，故①正確；
②：∵函數y=f′（x）是函數y=f（x）的導函數，
∴若函數f（x）為增函數，
∴f′（x）≥0，
不一定f′（x）＞0，也可能f′（x）=0，故②錯；
③對于空間任意一點O和不共線三點A，B，C，
點P滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，如果點P，A，B，C共面，必須有x+y+z=1，
對于“若點P滿足向量關系

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，則P、A、B、C四點共面”，
所以由前者推不出后者，故③錯；
④若取值為x₁，x₂，x₃…x_n的頻率分別為p₁，p₂，p₃…p_n，根據平均數計算公式知，其平均數為

n

i=1

xipi．故正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意導函數、空間向量、三角函數等基本知識的靈活運用．