Question

如圖，在△AOB中，點(diǎn)P在直線AB上，且滿足

OP

=2t

PA

+t

OB

 (t∈R)，求

| PA |

| PB |

的值．

Answer 1

分析：由

OP

=2t

PA

+t

OB

 (t∈R)，及A、P、B三點(diǎn)共線，我們不難求出t值，進(jìn)一步給出向量

PA

與向量

PB

的關(guān)系，進(jìn)而可得答案．

解答：解：

PA

=

OA

-

OP

，
∴

OP

=2t(

OA

-

OP

)+t

OB

，
得

OP

=

2t

1+2t

OA

+

t

1+2t

OB

．
而P、A、B三點(diǎn)共線，
∴

2t

1+2t

+

t

1+2t

=1，
解得t=1，
∴

OP

=2

PA

+

OB

；
得

OP

-

OB

=2

PA

，
即

BP

=2

PA

，
有

| PA |

| PB |

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：若A、B、P三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，則

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，反之也成立，這是三點(diǎn)共線在向量中最常用的證明方法和性質(zhì)，大家一定要熟練掌握．