Question

目前全世界都使用體重指數（BMI）來衡量一個人胖或不胖，計算的方法是：BMI=體重（kg）除以身高（m）的平方，世界衛生組織擬定的標準是：BMI在18.5-24.9時屬正常范圍，BMI大于25為超重，BMI大于30為肥胖，在某所高中隨機抽取16名學生，測得身高、體重、BMI值如下表：表中身高單位為cm，體重單位為kg．

身高	166	169	170	166	180	175	177	176
體重	65	70	70	70	98	93	90	75
BMI	23.6	24.5	24.2	25.2	30.2	30.4	28.7	24.2
身高	174	182	181	168	169	185	181	179
體重	85	91	95	69	69	85	99	97
BMI	28.1	27.5	29	24.4	24.2	25	30.2	30.3

（I）若從這16人中隨機選取4人，求至多有一人是肥胖的概率；
（Ⅱ）以這16人的樣本數據來估計這所高中學校的整體數據，若從該校任選4人，ξ表示抽到肥胖學生的人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據信息可知，16人中有4個人肥胖，利用等可能事件的概率公式，可求從這16人中隨機選取4人，至多有一人是肥胖的概率；
（Ⅱ）任取1人，此人肥胖的概率為

1

4

，故P（ξ=k）=

C

k 4

(

1

4

)k(

3

4

)4-k，k=0，1，2，3，4，由此可得ξ的分布列及數學期望．

解答：解：（I）根據信息可知，16人中有4個人肥胖，所以從這16人中隨機選取4人，至多有一人是肥胖的概率為P=

C 4 12 + C 1 4 C 3 12

C 4 16

=

275

364

；
（Ⅱ）任取1人，此人肥胖的概率為

1

4

，故P（ξ=k）=

C

k 4

(

1

4

)k(

3

4

)4-k，k=0，1，2，3，4
∴分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	81 256	108 256	54 256	12 256	1 256

ξ的數學期望Eξ=0×

81

256

+1×

108

256

+2×

54

256

+3×

12

256

+4×

1

256

=1．

點評：本題考查等可能事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望，屬于中檔題．