Question

（本小題滿分9分）
已知函數。
（Ⅰ）當時，求函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）求的極大值；
（Ⅲ）求證：對于任意，函數在上恒成立。

Answer 1

解：定義域為，且
（Ⅰ）當時，，令，
解得或。故函數在，上單調遞增。      …………2分
（Ⅱ）令，即，
當時，上式化為恒成立。故在上單調遞增，無極值；
當時，解得或。故在，上單調遞增，在上單調遞減。

		1
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

 
故在處有極大值。
當時，解得或。故在，上單調遞增，在上單調遞減；

				1
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

 
故在處有極大值。    ………………………7分
（Ⅲ）證明：當時，由（2）可知在，上單調遞增，在上單調遞減。
故在上的最大值為。
要證函數在上恒成立
只要證在上的最大值即可。
即證恒成立。
因為，故。
由此可知，對任意，在上恒成立。     ………………………9分

略