Question

本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

Answer 1

分析：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解．

解答：解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，
總收益為z元，由題意得

x+y≤300 500x+200y≤90000 x≥0，y≥0.

目標函數為z=3000x+2000y．
二元一次不等式組等價于

x+y≤300 5x+2y≤900 x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域．
如圖，作直線l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．
平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數取得最大值．
聯立

x+y=300 5x+2y=900.

解得x=100，y=200．
∴點M的坐標為（100，200）．
∴z_max=3000x+2000y=700000（元）
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．