Question

(09·江蘇文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圓C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4

(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0)，且被圓C₁截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

[解析]　(1)由于直線x＝4與圓C₁不相交，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C₁的圓心C₁(－3,1)到直線l的距離為

因?yàn)橹本�l被圓C₁截得的弦長為2，

即k＝0或k＝－，

所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0

(2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l₁的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l₂的方程為，因?yàn)?i>C₁和C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，所以圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，

這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁和P₂滿足題目條件．