Question

橢圓C：（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，
|PF₁|=，|PF₂|=
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l過圓x²+y²+4x﹣2y=0的圓心，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，
所以2a=|P|+|P|=6，a=3．
在Rt△P中，，
故橢圓的半焦距c=，從而b²=a²﹣c²=4，
所以橢圓C的方程為=1．
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（，）、（x₂，y₂）．
已知圓的方程為（x+2）²+（y﹣1）²=5，
所以圓心M的坐標(biāo)為（﹣2，1）．
從而可設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k﹣27=0．
因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
所以解得，
所以直線l的方程為，即8x﹣9y+25=0．（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）