Question

如圖，DA⊥平面ABE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AE⊥平面BCE，只需證明AE垂直平面BCE內的兩條相交直線BC和BF，即可．
（Ⅱ）連接BD交AC于點O，連接OF，由三垂線定理的逆定理，得FO⊥AC，∠BOF是二面角B-AC-E的平面角，然后求二面角B-AC-E的平面角的正切值．

解答：：解（Ⅰ）證明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE．（1分）
∵DA⊥平面ABE，∴DA⊥AE．（2分）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，∴BC⊥AE．（4分）
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．（5分）
（Ⅱ）解：連接BD交AC于點O，連接OF．
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴BO⊥AC，且BO=

2

．（6分）
∵BF⊥平面ACE，
∴由三垂線定理的逆定理，得FO⊥AC．（7分）
∴∠BOF是二面角B-AC-E的平面角．（8分）
由（Ⅰ）知AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．
又∵AE=EB，
∴在等腰直角三角形AEB中，AE=BE=

2

．
在直角△BCE中，EC=

BC2+BE2

=

6

，（9分）
∵BF⊥平面ACE，EC?平面ACE，OF?平面ACE
∴BF⊥EC，BF⊥OF．（10分）
∴BF=

BC•BE

EC

=

2 3

3

．（11分）
在直角△BOF中，OF=

BO2-BF2

=

6

3

．（12分）
∴tan∠BOF=

BF

OF

=

2 3 3

6 3

=

2

．
∴二面角B-AC-E的平面角的正切值為

2

．（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．