Question

下列說法中：
①若函數f（x）=ax²+（2a+b）x+2（x∈[2a-1，a+4]）是偶函數，則實數b=2；
②f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，則函數f（x）的最大值為1；
③已知函數f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），則f（x）是奇函數；
④設lg2=a，lg3=b那么可以得到log56=

a+b

1-a

；
⑤函數f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（0，2），其中正確說法的序號是______（注：把你認為是正確的序號都填上）．

Answer 1

對于①，∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2是二次函數，且圖象關于直線x=-

2a+b

2a

對稱，
∴2a-1+a+4=0且-

2a+b

2a

=0，解之得a=-1，b=2，故①正確；
對于②，f（x）=

-2x+2   0≤x≤3 -2x2+4x+2   x＜0或x＞3

，
可得當x∈（∞，0）時，函數f（x）為增函數；當x∈（0，3）時，函數f（x）為減函數；
當x∈（3，+∞）時，函數f（x）為減函數
∴當x=0時，函數f（x）的最大值為f（0）=2，故②不正確；
對于③，對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0
再取x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，所以f（-1）=0，
最后取y=-1，得f（-x）=xf（-1）-f（x），所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數．故③正確；
對于④，lg2=a，lg3=b，則log₅6=

lg6

lg5

=

lg2+lg3

1-lg2

=

a+b

1-a

，故④正確；
對于⑤，因為0＜3+2x-x²=-（x-1）²+4≤4，
所以f(x)=log2(3+2x-x2)≤log₂4=2，故函數函數f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（-∞，2），故⑤不正確．
故答案為：①③④