Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(1，

2

2

)，e=

2

2

，P（x₀，y₀）是橢圓上任一點，O是坐標原點，△PAB橢圓C的內接三角形，且O是△PAB的重心．
（1）求a、b的值，并證明AB所在的直線方程為x₀x+2y₀y+1=0；
（2）探索△PAB的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，求出它的最大值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(1，

2

2

)，e=

2

2

，能求出a、b的值．設線段AB的中點為M，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由O是△PAB的重心，能證明直線AB的方程為x₀x+2y₀y+1=0．
（2）由

x2 2 +y2=1 x0x+2y0y+1=0

，得2x2+2x0x+1-4y02=0，由此能求出|AB|=

1+ x02 4y02

|x₁-x₂|=

6 x02+4y02

2

，由此能推導出△PAB的面積為定值

3 6

4

．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(1，

2

2

)，e=

2

2

，
∴

1 a2 + 1 2 b2 =1 c a = 2 2

，解得

a2=2 b2=1

，∴

a= 2 b=1

，…（2分）
設線段AB的中點為M，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵O是△PAB的重心，∴

PO

=2

OM

∴xM=-

x0

2

，yM=-

y0

2

，
∴直線AB的方程為y+

y0

2

=-

x0

2y0

（x+

x0

2

），
又∵

x02

2

+y02=1，
∴直線AB的方程轉化為x₀x+2y₀y+1=0，
且當直線AB的斜率不存在時，x0=-

2

，y₀=0，
直線AB的方程為x=

2

2

，也符合方程x₀x+2y₀y+1=0．…（6分）
（2）由

x2 2 +y2=1 x0x+2y0y+1=0

，得2x2+2x0x+1-4y02=0，
∴x₁+x₂=-x₀，x1x2=

1-4y02

2

，
∴|x₁-x₂|=

x02+8y02-2

=

6

|y₀|，
|AB|=

1+ x02 4y02

|x₁-x₂|=

6 x02+4y02

2

，
P（x₀，y₀）到x₀x+2y₀y+1=0的距離d=

|x02+2y02+1|

x02+4y02

=

3

x02+4y02

，
∴S_△PAB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

•

6 • x02+4y02

2

•

3

x02+4y02

=

3 6

4

，
∴△PAB的面積為定值

3 6

4

…（12分）

點評：本題考查直線方程的求法，考查三角形面積的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思想的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與圓錐曲線位置關系的綜合應用．