Question

已知函數(shù)y=sinx+cosx，給出以下四個命題，其中為真命題的是（　　）

• A．若x∈[0，

  π

  2

  ]，則函數(shù)y是減函數(shù)
• B．函數(shù)y在區(qū)間[

  π

  4

  ，

  5π

  4

  ]上是增函數(shù)
• C．直線x=

  π

  4

  是函數(shù)圖象的一條對稱軸
• D．函數(shù)的圖象可由y=

  2

  sin x的圖象向右平移

  π

  4

  個單位長度得到

Answer 1

分析：先根據(jù)兩角和與差將函數(shù)化簡為y=

2

sin（x+

π

4

），然后分別求解①②③④，判斷它們的正誤，即可得到選項．

解答：解：∵y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=

2

sin（x+

π

4

），的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，所以在區(qū)間[

π

4

，

5π

4

]上是減函數(shù)，故AB錯誤；
函數(shù)圖象的對稱軸為x=

π

4

+kπ，k∈Z，當k=0時，x=

π

4

，故C正確；
函數(shù)y=

2

sin x的圖象向右平移

π

4

個單位長度得到y(tǒng)=

2

sin（x-

π

4

），故D錯誤．
故選：C．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)與函數(shù)圖象的平移變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的對稱性，考查學生的分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．