Question

如圖，線段AB過y軸上一點N（0，m），AB所在直線的斜率為k（k≠0），兩端點A，B到y軸的距離之差為4k．
（1）求出以y軸為對稱軸，過A，O，B三點的拋物線方程；
（2）過拋物線的焦點F作動弦CD，過C，D兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出

FC • FD

FM 2

的值．

Answer 1

分析：（1）設出直線AB的方程和拋物線的方程，及A，B點坐標，根據圖象可推斷出由圖可知x₁＞0，x₂＜0且|x₁|-|x₂|=4k，進而求得x₁+x₂，進而根據韋達定理求得x₁+x₂的表達式，最后建立等式求得p，則拋物線方程可得．
（2）設出C，D坐標，進而可表示出過C，D兩點的切線的方程，求得兩條切線的交點，設CD的直線方程代入拋物線方程消去y，進而求得才C，D兩點橫坐標的積，求得點M的橫坐標，推斷出點M的軌跡方程，表示出

FC

，

FD

和

FM

2進而求得

FC • FD

FM 2

的值．

解答：解：（1）AB所在直線方程為y=kx+m，拋物線方程為x²=2py，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵由圖可知x₁＞0，x₂＜0．|x₁|-|x₂|=4k，
即x₁+x₂=4k．
把y=kx+m代入x²=2py得x²-2pkx-2pm=0，
∴x₁+x₂=2pk．
∴2pk=4k，
∴p=2．
故所求拋物線方程為x²=4y．
（2）設C(x3，

1

4

x

2 3

)，D(x4，

1

4

x

2 4

)．
過拋物線上C、D兩點的切線方程分別是y=

1

2

x3x-

1

4

x32，y=

1

2

x4x-

1

4

x

2 4

．
∴兩條切線的交點M的坐標為（

x3+x4

2

，

x3x4

4

）．
設CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0．
∴x₃x₄=-4，
故M的坐標為（

x3+x4

2

，-1）．
故點M的軌跡為y=1．
∴

FC

=(x3，

1

4

x

2 3

-1)，

FD

=(x4，

1

4

x

2 4

-1)
∵

FC

•

FD

=x3x4+

1

4

x

2 3

•

1

4

x

2 4

-

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+1=x3x4+1-

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+1=-

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)-2
而

FM

2=(

x3+x4

2

-0)2+(-1-1)2=

x 2 3 + x 2 4 +2x3x4

4

+4=

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+2，

FC • FD

FM 2

=-1

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程，直線方程，向量的基本運算．