Question

從某學校高三年級共1000名男生中隨機抽取50人測量身高．據測量，被測學生身高全部介于155cm到195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組，第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分、其中第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．
（1）求第六組、第七組的頻率，并估算高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數；
（2）學校決定讓這50人在運動會上組成一個高旗隊，在這50人中要選身高在180cm以上（含180cm）的三人作為隊長，記X為身高在[180，185）的人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由頻率分布直方圖分析可得后三組的頻率，再根據公式：頻率=頻數÷數據總和，計算可得答案．
（2）列出X的分布列，根據分布列利用隨機變量的期望公式求出X的數學期望．

解答：解：（1）由頻率分布直方圖知，前五組頻率為（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三組頻率為1-0.82=0.18，人數為0.18×50=9人，
這所學校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人數為1000×0.18=180人（4分）
由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008×5=0.04，人數為0.04×50=2人，
設第六組人數為m，則第七組人數為9-2-m=7-m，又m+2=2（7-m），所以m=4，
即第六組人數為4人，第七組人數為3人，
頻率分別為0.08，0.06．估算高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數為180．
（2）X可能的取值為0，1，2，3，
P（x=0）=

C 3 5

C 3 9

=

5

42

，P（x=1）=

C 1 4 C 2 5

C 3 9

=

20

42

，
P（x=0）=

C 2 4 C 1 5

C 3 9

=

15

42

，P（x=0）=

C 3 4

C 3 9

=

2

42

，
所以X的分布列

X	0	1	2	3
P	5 42	10 21	5 14	1 21

…（10分）
EX=

4

3

…（12分）

點評：本題是對頻率、頻數靈活運用的綜合考查，各小組頻數之和等于數據總和，各小組頻率之和等于1．頻率、頻數的關系：頻率=頻數÷數據總和，同時還考查了古典概型的計算和離散型隨機變量的期望與方差．