Question

已知過點（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），計算

1

y1

+

1

y2

的值，由此歸納一條與拋物線有關的性質，使得上述計算結果是性質的一個特例：

根據回答的層次給分
過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交與不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；
過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交與不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；
過（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交與不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

．

（根據回答的層次給分）

Answer 1

分析：過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可令直線方程為y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系易得

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；然后根據歸納推理的辦法，由此推斷出過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時，滿足的性質，及過（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時，滿足的性質．

解答：解：若過（0，2）的直線斜率不存在或k=0，則直線與拋物線只有一個交點不滿足要求；
若過（0，2）的直線斜率存在且不為0，則可設y=kx+2
又因為A，B兩點是直線與拋物線y²=4x的交點，則

y=kx+2 y2=4x

即 y2-

4

k

y+

8

k

=0
∴y1+y2=

4

k

，且 y1•y2=

8

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

因為A，B兩點是直線與拋物線y²=2px（p＞0）的交點，則

y=kx+2 y2=2px

即 y2-

2p

k

y+

4p

k

=0
∴y1+y2=

2p

k

，且 y1•y2=

4P

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

．
由此歸納推斷：過（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

b

．
故答案為：過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交與不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（1分）
過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交與不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（1分）
過（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交與不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

b

（1分）

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質、歸納推理．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．