Question

為了求函數y=x²，函數x=1，x軸圍成的曲邊三角形的面積S，古人想出了兩種方案求其近似解（如圖）：第一次將區間[0，1]二等分，求出陰影部分矩形面積，記為S₂；第二次將區間[0，1]三等分，求出陰影部分矩形面積，記為S₃；第三次將區間[0，1]四等分，求出S₄…依此類推，記圖1中S_n=a_n，圖2中S_n=b_n，其中n≥2．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求a_n的通項公式，并證明an＞

1

3

；
（3）求b_n的通項公式，類比第②步，猜想b_n的取值范圍．并由此推出S的值（只需直接寫出b_n的范圍與S的值，無須證明）．
參考公式：12+22+32+…+(n-1)2+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)．

Answer 1

分析：（1）利用題設條件，根據矩形面積公式，能夠求出a₂，a₃，a₄．
（2）仔細觀察a₂，a₃，a₄的表示式，能夠得到a_n．再由an=

1

6n2

(n+1)(2n+1)＞

1

6n2

×n×2n=

1

3

，能夠證明證明an＞

1

3

．
（3）bn=

1

n

[(

1

n

)2+(

2

n

)2+(

3

n

)2+…+(

n-1

n

)2]=

1

n3

[12+22+32+…+(n-1)2]=

1

6n3

（n-1）（n-1+1）（2n-2+1），由此能夠推導出b_n的取值范圍．并由此推出S的值．

解答：解：（1）a2=

1

2

[(

1

2

)2+12]=

5

8

，
a3=

1

3

[(

1

3

)2+(

2

3

)2+12]=

14

27

，
a₄=

1

4

[(

1

4

)2+(

2

4

)2+(

3

4

)2+(

4

4

)2]=

15

32

．
（2）a_n=

1

n

[(

1

n

)2+(

2

n

)2+(

3

n

)2+…+(

n-1

n

)2+(

n

n

)2]
=

1

n3

[12+22+32+…+(n-1)2+n2]=

1

6n2

(n+1)(2n+1)．…（7分）
an=

1

6n2

(n+1)(2n+1)＞

1

6n2

×n×2n=

1

3

…（9分）
（3）bn=

1

n

[(

1

n

)2+(

2

n

)2+(

3

n

)2+…+(

n-1

n

)2]=

1

n3

[12+22+32+…+(n-1)2]
=

1

6n3

（n-1）（n-1+1）（2n-2+1）
=

1

6n2

（n-1）（2n-1）＜

1

3

，
∴S=

1

3

．

點評：本題考查曲邊三角形面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意類比推理的合理運用．