Question

某批n件產品的次品率為1%，現在從中任意地依次抽出2件進行檢驗，問：
（1）當n=100，1000，10000時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到一件次品的概率各是多少？（精確到0.00001）
（2）根據（1），談談你對超幾何分布與二項分布關系的認識．

Answer 1

分析：（1）當n=100時，如果放回，是二項分布．其概率為C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超幾何分布．概率為

C 1 1 C 1 99

C 2 100

=0.2．
當n=1000時，如果放回，是二項分布．其概率為 C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超幾何分布．概率為

C 1 10 C 1 990

C 2 1000

≈0.0198．．
當n=10000時，如果放回，這是二項分布．其概率為 C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超幾何分布．概率為

C 1 100 • C 1 9900

C 2 10000

≈0.0198．
（2）對超幾何分布與二項分布關系的認識從共同點、不同點和聯系三個方面進行說明．

解答：解：（1）當n=100時，
如果放回，這是二項分布．抽到的2件產品中有1件次品1件正品，其概率為
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，這是超幾何分布．100件產品中次品數為1，正品數是99，
從100件產品里抽2件，總的可能是C₁₀₀²，次品的可能是C₁¹C₉₉¹．
所以概率為

C 1 1 C 1 99

C 2 100

=0.2．
當n=1000時，
如果放回，這是二項分布．抽到的2件產品中有1件次品1件正品，其概率為
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，這是超幾何分布．1000件產品中次品數為10，正品數是990，
從1000件產品里抽2件，總的可能是C₁₀₀₀²，次品的可能是C₁₀¹C₉₉₀¹．
所以概率為是

C 1 10 C 1 990

C 2 1000

≈0.0198．
如果放回，這是二項分布．抽到的2件產品中有1件次品1件正品，其概率為
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，這是超幾何分布．10000件產品中次品數為1000，正品數是9000，
從10000件產品里抽2件，總的可能是C₁₀₀₀₀²，次品的可能是C₁₀₀¹C₉₉₀₀¹．
所以概率為

C 1 100 • C 1 9900

C 2 10000

≈0.0198．
（2）對超幾何分布與二項分布關系的認識：
共同點：每次試驗只有兩種可能的結果：成功或失敗．
不同點：1、超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽取；
        2、超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”；
聯系：當產品的總數很大時，超幾何分布近似于二項分布．

點評：本題考查二項分布和超幾何分布的性質和應用，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意區分超幾何分布與二項分布的共同點、不同點和聯系．