Question

已知函數，.（其中為自然對數的底數）.
（1）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值；
（2）若對于任意實數≥0，恒成立，試確定實數的取值范圍；
（3）當時，是否存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）＝－1 （2）  （3）不存在

試題分析：（1）， 因此在處的切線的斜率為，
又直線的斜率為， ∴（）＝－1，∴ ＝－1.
（2）∵當≥0時，恒成立，
∴ 先考慮＝0，此時，，可為任意實數；
又當＞0時，恒成立，
則恒成立， 設＝，則＝，
當∈(0,1)時，＞0，在(0,1)上單調遞增，
當∈(1,＋∞)時，＜0，在(1,＋∞)上單調遞減，
故當＝1時，取得極大值，， ∴ 實數的取值范圍為．
（3）依題意，曲線C的方程為，
令＝，則
直. 設，則，
當，，故在上的最小值為，
所以≥0，又，∴＞0，
而若曲線C：在點處的切線與軸垂直，則＝0，矛盾。
所以，不存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩條直線垂直的判定，掌握導數在最大值、最小值中的運用，是一道中檔題．