Question

設f（x）是定義在實數集R上的函數，且滿足下列關系f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），則f（x）是（　　）

A．偶函數，又是周期函數

B．偶函數，但不是周期函數

C．奇函數，又是周期函數

D．奇函數，但不是周期函數

Answer 1

分析：將題中兩個等式相結合，運用變量代換的方法可證出f（40+x）=f（x），從而得出f（x）是周期T=40的周期函數，再根據f（-x）=f（40-x）結合f（20-x）=-f（20+x），可證出f（-x）=f（x），從而得到本題的答案．

解答：解：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．
∴f（20+x）=-f（40+x），結合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）
∴f（x）是以T=40為周期的周期函數；
又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．
∴f（x）是奇函數．
故選：C

點評：本題給出滿足兩個等式的抽象函數，求函數的周期性和奇偶性，著重考查了函數的定義和抽象函數的應用等知識，屬于基礎題．