Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為[﹣1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．

x	﹣1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

下列關于函數f（x）的命題：
①函數y=f（x）是周期函數；
②函數f（x）在[0，2]上是減函數；
③如果當x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a有4個零點．
其中所有真命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：由圖象不能判斷y出f（x）是否為周期函數，故①不正確；
由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數，即②正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數據可得當x=0或x=4時，函數取最大值2，若x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③正確
由f（x）=a，因為極小值f（2）未知，所以無法判斷函數y=f（x）﹣a有幾個零點，所以④不正確．
答案為：②③
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．