Question

【題目】設過曲線上任意一點處的切線為，總存在過曲線上一點處的切線，使得，則實數的取值范圍為_____________________.

Answer 1

【答案】

【解析】分析：求出函數f（x）=﹣ex﹣x+3a的導函數，進一步求得∈（0，1），再求出g（x）的導函數的范圍，然后把過曲線f（x）=﹣ex﹣x+3a上任意一點的切線為l1，總存在過曲線g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一點處的切線l2，使得l1⊥l2轉化為集合間的關系求解．

詳解：由f（x）=﹣ex﹣x+3a，得f′（x）=﹣ex﹣1，

由g（x）=（x﹣1）a+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，

又﹣2sinx∈[﹣2，2]，

∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，

要使過曲線f（x）=﹣ex﹣x+3a上任意一點的切線為l1，

總存在過曲線g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一點處的切線l2，使得l1⊥l2，

所以（﹣ex﹣1）（a﹣2sinx）=-1，所以（a﹣2sinx）=，

∵ex+1＞1，∴∈（0，1），

所以（0，1）[﹣2+a，2+a]，

則，解得﹣1≤a≤2．

即a的取值范圍為[﹣1，2]．故答案為:.