Question

△ABC的三個內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，R是△ABC的外接圓半徑，有下列四個條件：
（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab
（2）sinA=2cosBsinC
（3）b=acosC，c=acosB
（4）2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB
有兩個結論：甲：△ABC是等邊三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件，兩個結論中的一個為結論，寫出一個你認為正確的命題

 

．

Answer 1

分析：若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式變形得到關于a，b及c的關系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的關系式代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C為60°，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡（2）中的等式，得到sin（B-C）=0，由B和C為三角形的內角，得到B-C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B=C，從而得到三角形為等邊三角形；
若（2）（4）→乙，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡（2）中的等式，得到sin（B-C）=0，由B和C為三角形的內角，得到B-C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B=C，再利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=

2

b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，從而得到三角形為等腰直角三角形；
若（3）（4）→乙，利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=

2

b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，再利用正弦定理化簡（3）中的兩等式，分別表示出sinA，兩者相等再利用二倍角的正弦函數(shù)公式，得到sin2B=sin2C，由B和C都為三角形的內角，可得B=C，從而得到三角形為等腰直角三角形．三者選擇一個即可．

解答：解：由（1）（2）為條件，甲為結論，得到的命題為真命題，理由如下：
證明：由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，變形得：
a²+b²+2ab-c²=3ab，即a²+b²-c²=ab，
則cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，又C為三角形的內角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
則A=B=C=60°，
∴△ABC是等邊三角形；
以（2）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：
證明：化簡得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，
代入2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB得：
2R•（

a2

4R2

-

c2

4R2

）=（

2

a-b）•

b

2R

，
整理得：a²-b²=

2

ab-b²，即a²=

2

ab，
∴a=

2

b，
∴a²=2b²，又b²+c²=2b²，
∴a²=b²+c²，
∴∠A=90°，
則三角形為等腰直角三角形；
以（3）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：
證明：由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，
代入2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB得：
2R•（

a2

4R2

-

c2

4R2

）=（

2

a-b）•

b

2R

，
整理得：a²-b²=

2

ab-b²，即a²=

2

ab，
∴a=

2

b，
∴a²=2b²，又b²+c²=2b²，
∴a²=b²+c²，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根據(jù)正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴

sinB

cosC

=

sinC

cosB

，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都為三角形的內角，
∴2B=2C，即B=C，
則三角形為等腰直角三角形．
故答案為：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，勾股定理，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定與性質，屬于條件開放型題，是一類背景新、解題活、綜合性強、無現(xiàn)成模式的題型．解答此類題需要運用觀察、類比、猜測、歸納、推理等多種探索活動尋求解題策略．