Question

已知兩直線l₁：ax-by+4=0，l₂：（a-1）x+y+b=0．求分別滿足下列條件的a，b的值．
（1）直線l₁過點（-3，-1），并且直線l₁與l₂垂直；
（2）直線l₁與直線l₂平行，并且坐標原點到l₁，l₂的距離相等．

Answer 1

分析：（1）利用直線l₁過點（-3，-1），直線l₁與l₂垂直，斜率之積為-1，得到兩個關系式，求出a，b的值．
（2）類似（1）直線l₁與直線l₂平行，斜率相等，坐標原點到l₁，l₂的距離相等，利用點到直線的距離相等．得到關系，求出a，b的值．

解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，
∴a（a-1）+（-b）•1=0，即a²-a-b=0①
又點（-3，-1）在l₁上，
∴-3a+b+4=0②
由①②得a=2，b=2．
（2）∵l₁∥l₂，∴

a

b

=1-a，∴b=

a

1-a

，
故l₁和l₂的方程可分別表示為：
（a-1）x+y+

4(a-1)

a

=0，（a-1）x+y+

a

1-a

=0，
又原點到l₁與l₂的距離相等．
∴4|

a-1

a

|=|

a

1-a

|，∴a=2或a=

2

3

，
∴a=2，b=-2或a=

2

3

，b=2．

點評：本題考查兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系，兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系，考查計算能力，是基礎題．