Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為，點在橢圓C上，直線與橢圓C交于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(II)或．

【解析】

試題（Ⅰ）由題意可設橢圓標準方程為，結合已知及隱含條件列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設F，E，寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經過定點（±2，0），即可判斷存在點P

試題解析：（Ⅰ）解法一：設橢圓的方程為，

因為橢圓的左焦點為，所以．

設橢圓的右焦點為，已知點在橢圓上，

由橢圓的定義知，所以．

所以，從而．

所以橢圓的方程為．

解法二：設橢圓的方程為，

因為橢圓的左焦點為，所以．①

因為點在橢圓上，所以． ②

由①②解得，，．

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）解法一：因為橢圓的左頂點為，則點的坐標為．

因為直線與橢圓交于兩點，，

設點（不妨設），則點．

聯立方程組消去得．

所以，．

所以直線的方程為．

因為直線與軸交于點，

令得，即點．

同理可得點．

假設在軸上存在點，使得為直角，則．

即，即．

解得或．

故存在點或，無論非零實數怎樣變化，總有為直角．

解法二：因為橢圓的左頂點為，則點的坐標為．

因為直線與橢圓交于兩點，，

設點（），則點．

所以直線的方程為．

因為直線與軸交于點，

令得，即點．

同理可得點．

假設在軸上存在點，使得為直角，則．

即，即．

解得或．

故存在點或，無論非零實數怎樣變化，總有為直角．