Question

【題目】設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線，

（1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；

（2）若，弦AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），證明見解析 （2）過定點(diǎn)，（0,）

【解析】

(1)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，利用中垂線的性質(zhì)列方程組求出直線的截距b的范圍，從而得出結(jié)論；

(2)設(shè)AB的方程為：y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和求出b的值，從而得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）∵拋物線，即，

∴焦點(diǎn)為

(i)直線的斜率不存在時(shí)，顯然有

(ii)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，截距為b

即直線：y=kx+b，由已知得：

即的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過焦點(diǎn)

所以當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F

（2）設(shè)直線：y=kx+b，

聯(lián)立方程組：

若，則

過定點(diǎn)（0,）. ，

因此直線AB過定點(diǎn).