Question

設x，y滿足約束條件

x≥-3 y≥-4 -4x+3y≤12 4x+3y≤36

（1）求目標函數z=2x+3y的最小值與最大值．
（2）求目標函數z=-4x+3y-24的最小值與最大值．

Answer 1

分析：（1）可分成三個步驟：①作出可行域，②z為目標函數縱截距的三分之一，③畫直線2x+3y=0，平移直線觀察最值．
（2）類似于（1），畫直線l₀：-4x+3y=0，平移直線觀察目標函數z=-4x+3y-24的最小值與最大值即可．

解答：解：（1）作出可行域（如圖A陰影部分）．
令z=0，作直線l：2x+3y=0．
當把直線l向下平移時，所對應的z=2x+3y的值隨之減小，所以，直線經過可行域的頂點B時，z=2x+3y取得最小值．
從圖中可以看出，頂點B是直線x=-3與直線y=-4的交點，其坐標為（-3，-4）；
當把l向上平移時，所對應的z=2x+3y的值隨之增大，所以直線經過可行域的頂點D時，z=2x+3y取得最大值．
頂點 D是直線-4x+3y=12與直線4x+3y=36的交點，
解方程組

-4x+3y=12 4x+3y=36

，可以求得頂點D的坐標為（3，8）．
所以z_min=2×（-3）+3×（-4）=-18，z_max=2×3+4×8=38．
（2）可行域同（1）（如圖B陰影部分）．
作直線l₀：-4x+3y=0，把直線l₀向下平移時，
所對應的z=-4x+3y的值隨之減小，即z=-4x+3y-24的值隨之減小，
從圖B可以看出，直線經過可行域頂點C時，z=-4x+3y-24取得最小值．
頂點C是直線4x+3y=36與直線y=-4的交點，
解方程組

y=-4 4x+3y=36

得到頂點C的坐標（12，-4），
代入目標函數z=-4x+3y-24，得z_min=-4×12+3×（-4）-24=-84．
由于直線l₀平行于直線-4x+3y=12，
因此當把直線l₀向上平移到l₁時，l₁與可行域的交點不止一個，
而是線段AD上的所有點．此時z_max=12-24=-12．

點評：本題考查不等式中的線性規劃知識，畫出平面區域與正確理解目標函數的幾何意義是解答好本題的關鍵．