Question

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且

sinC

sinB•cosA

=

2c

b

．
（1）求角A；
（2）若

m

=（1，-1），

n

=(cosB，1-2cos2

C

2

)，，試求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）應用正弦定理求得 cosA=

1

2

，據0＜A＜π，求得A的值．
（2）利用兩個向量的數量積公式，兩角和差的正弦公式，化簡

m

•

n

=sin(B+

π

6

)，根據 B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
求得  sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，從而求得

m

•

n

的取值范圍．

解答：解：（1）∵

sinC

sinB•cosA

=

2c

b

，即

sinC

sinB•cosA

=

2sinC

sinB

，∴cosA=

1

2

．∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．               
 （2）∵

m

•

n

=cosB+2cos2

C

2

-1=cosB+cosC=cosB+cos(

2π

3

-B)=

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin(B+

π

6

)，
∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)．   從而  B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)．
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，∴

m

•

n

的取值范圍為 (

1

2

，1]．

點評：本題考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦定理，兩個向量的數量積公式，正弦函數的定義域和值域，化簡

m

•

n

=
sin(B+

π

6

)，是解題的關鍵．