Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立．

Answer 1

．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，，
所以．
又由，可推知對(duì)一切正整數(shù)均有，
∴數(shù)列是等比數(shù)列．                                    ………３分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為4，  
∴．
當(dāng)時(shí)，，
又，
∴                                ………６分
（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

，
又，
∴．                      ………８分
，
當(dāng)時(shí)，＝

．                                 ……… 1１分
又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)都有所以單調(diào)遞增，即，
所以對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立．　　　　　　……… １２分

略