Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為棱A₁B₁和BB₁的中點，那么異面直線AM和CN所成角的余弦值是（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  10

  2

• C、

  2

  5

• D、-

  2

  5

Answer 1

分析：由

AM

•

CN

=（

AA1

+

A1M

 ）•（

CB

+

BN

）求出

AM

•

CN

 的值，利用兩個向量的數量積的定義求出

AM

•

CN

，
由此解出cos＜

AM

，

CN

＞=

2

5

，結論可得．

解答：解：由題意可得

AM

=

AA1

+

A1M

，

CN

=

CB

 + 

BN

．

AM

•

CN

=（

AA1

+

A1M

 ）•（

CB

+

BN

）=

AA1

•

CB

+

AA1

 •

BN

+

A1M

•

CB

+

A1M

•

BN

 
=0+1×

1

2

+0+0=

1

2

．
又

AM

•

CN

=

1+ 1 4

×

1+ 1 4

 cos＜

AM

，

CN

＞=

5

4

 cos＜

AM

，

CN

＞，
∴

5

4

 cos＜

AM

，

CN

＞=

1

2

，∴cos＜

AM

，

CN

＞=

2

5

，
故選  C．

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，數量積公式，兩條異面直線所成的角的定義，求出cos＜

AM

，

CN

＞，
是解題的關鍵．