Question

某化工企業2007年底投入100萬元，購入一套污水處理設備．該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．
（1）求該企業使用該設備x年的年平均污水處理費用y（萬元）；
（2）問該企業幾年后的年平均污水處理費用最低？

Answer 1

分析：（1）由題意可知：該企業使用該設備x年的年污水處理費用由3部分組成，一是2007年底投入的100萬元，二是該設備每年的運轉費用是0.5萬元，三是每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元，據此即可得出答案．
（2）利用（1）求出的不表達式，利用基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（1）投題意可得y=

100+0.5x+(2+4+6+…+2x)

x

=

100+0.5x+ x(2+2x) 2

x

=x+

100

x

+1.5（x∈N^*）．
（2）由基本不等式可得：y≥2

x• 100 x

+1.5=21.5，
當且僅當x=

100

x

，x＞0，解得x=10，即x=10時取等號．
即該企業10年后的年平均污水處理費用最低．

點評：正確理解題意該企業使用該設備x年的年污水處理費用由3部分組成和熟練掌握等差數列的前n項和公式、基本不等式的性質是解題的關鍵．