Question

如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長軸長2a=6的橢圓.

      因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=，

      所以橢圓的方程為

      (Ⅱ)由       得

              ①

      因?yàn)?sub>不為橢圓長軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形.

在△PMN中，

          ②

      將①代入②，得

     

      故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線上.

      由(Ⅰ)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以

      由方程組       解得

      即P點(diǎn)坐標(biāo)為