Question

已知拋物線C頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)當點P(x₀,y₀)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;
(3)當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.

Answer 1

(1) x²=4y   (2) y=x₀x-y₀   (3)

解:(1)∵拋物線C的焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,
∴=,得c=1,
∴F(0,1),即拋物線C的方程為x²=4y.
(2)設切點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
由x²=4y得y′=x,
∴切線PA:y-y₁=x₁(x-x₁),
有y=x₁x-+y₁,而=4y₁,
即切線PA:y=x₁x-y₁,
同理可得切線PB:y=x₂x-y₂.
∵兩切線均過定點P(x₀,y₀),
∴y₀=x₁x₀-y₁,y₀=x₂x₀-y₂,
由此兩式知點A,B均在直線y₀=xx₀-y上,
∴直線AB的方程為y₀=xx₀-y,
即y=x₀x-y₀.
(3)設點P的坐標為(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
則|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y₁+1)·(y₂+1)
=y₁y₂+(y₁+y₂)+1.
由
得y²+(2y′-x′²)y+y′²=0,
有y₁+y₂=x′²-2y′,y₁y₂=y′²,
∴|AF|·|BF|=y′²+x′²-2y′+1
=y′²+(y′+2)²-2y′+1
=2²+,
當y′=-,x′=時,
即P時,|AF|·|BF|取得最小值.