Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an﹣3（﹣1）n（n∈N*）．
（1）若bn=a2n﹣1，求證：bn+1=4bn；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）若a1+2a2+3a3+…+nan＞λ2n對一切正整數n恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： =
（2）解：a2=2a1﹣3（﹣1）=5，b1=a2﹣1=4，因為bn+1=4bn

所以 ，所以{bn}是等比數列，所以bn=4n=a2n﹣1， ， ，

所以 ，即

（3）解：由（2） ，

令S=121+222+…+n2n

則2S=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1 ，

S=（n﹣1）2n+1+2

n為奇數時， ，

n為偶數時，

所以n為奇數時 ，

即 恒成立，

易證 遞增，n=1時 取最小值 ，

所以 n為偶數時，

，

即 ，

易證 遞增，n=2時 取最小值 ，

所以

綜上可得

【解析】（1）根據數列遞推公式即可證明，（2）先求出數列{bn}的通項公式，再分類求出{an}的通項公式，（3）令S=121+222+…+n2n根據錯位相減法求出Sn ， 分離參數，根據數列的函數特征即可求出λ的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．