Question

已知圓C：x²+(y－1)²=5，直線l：mx－y+1－m=0

（1）求證：對(duì),直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求l的傾角；

(3)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；

（4）若定點(diǎn)P(1，1)分弦AB為，求此時(shí)直線l的方程.

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知l∶y－1=m(x－1)，∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(1，1). ∵12+(1－1)2=1<5， ∴P在圓C內(nèi)，則直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn). (2)設(shè)A(x1，y2)，B(x2，y2)，則x1，x2為方程的兩實(shí)根，     ∵，∴，∴m2=3，. ∴l的傾角為. (3)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，連結(jié)CM，CP，∵C(0，1)，P(1，1)，，∴， 整理得軌跡方程為： (4)∵，∴，∴，又∵，∴，，解方程(1+m2)x2－2m2x+m2－5=0 得：，∴，∵m=±1， ∴直線l的方程為：x－y=0或x+y－2=0.