Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA ="AB=BC" =2，AD =1．M是棱SB的中點．

（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為，求sin的最大值，

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.
（Ⅲ）時，.

試題分析：（Ⅰ）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則
， ，，，，.
則.
設平面SCD的法向量是則
即
令，則，于是.
，.
 AM∥平面SCD. …………………………（4分）
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為.設平面SCD與平面SAB所成的二面角為，
則，即.
平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.………………………（8分）
（Ⅲ）設，則.
又，面SAB的法向量為，
所以，.
.
當，即時，.…………………………（12分）
點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關系的證明及角的計算問題是高考中的必考題，通過建立適當的坐標系，可使問題簡化。