Question

（2012•咸陽三模）已知函數f（x）=2x²，g（x）=alnx（a＞0）．
（1）若直線l交f（x）的圖象C于A，B兩點，與l平行的另一條直線l₁切圖象于M，求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（其中e為無理數，約為2.71828）．

Answer 1

分析：（1）設切點M的，A，B點的橫坐標分別為x₁，x₂，求出AB方程與函數f（x）聯立，利用韋達定理．即可證得結論；
（2）構造函數令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，確定函數的最小值，不等式f（x）≥g（x）恒成立，等價于最小值大于等于0，由此可得的取值范圍；
（3）由（2）得2x²≥4elnx，即

4lnx

x4

≤

2

ex2

，由此進行放縮，即可證得結論．

解答：（1）證明：設切點M的橫坐標為x₀，A，B點的橫坐標分別為x₁，x₂，
因為f′（x）=4x，所以kl=kl1=4x0；
令AB方程為y=4x₀x+b，則由

y=2x2 y=4x0x+b

消去y得2x²-4x₀x-b=0，
當△=16

x

2 0

+8b＞0時，x₁+x₂=2x₀，所以A，M，B三點的橫坐標成等差數列．…（4分）
（2）解：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，F′(x)=4x-

a

x

，
令F'（x）=0，得x=

a

2

，所以f（x）的減區間為(0，

2

2

)，增區間為(

a

2

，+∞)，
∴F（x）_極小值=F(x)min=

a

2

-aln

a

2

，
不等式f（x）≥g（x）恒成立，等價于

a

2

-aln

a

2

≥0，
∴a≤4e且a＞0，即a∈（0，4e]．…（10分）
（3）證明：由（2）得2x²≥4elnx，即

4lnx

x4

≤

2

ex2

，所以

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

≤

2

e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

2

e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

)＜

2

e

…
即

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導，確定函數的最值．