Question

已知函數f(x)=

x+a

ax+a-2

，f（2）=1．
（1）求a的值； （2）求證：函數f（x）在（-∞，0）內是減函數．

Answer 1

分析：（1）由已知f（2）=1可求a
（2）由（1）得f(x)=

x+2

2x

=

1

2

+

1

x

(x≠0)，利用單調性的定義，設任意x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．判斷f(x1)-f(x2)=(

1

2

+

1

x1

)-(

1

2

+

1

x2

)=

x2-x1

x1x2

的符號即可證明

解答：解：（1）由已知，得f(2)=

2+a

2a+a-2

=1，
∴a=2．…（4分）
證明：（2）由（1）得f(x)=

x+2

2x

=

1

2

+

1

x

(x≠0)，
設任意x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
則f(x1)-f(x2)=(

1

2

+

1

x1

)-(

1

2

+

1

x2

)=

x2-x1

x1x2

．…（8分）
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，函數f（x）在（-∞，0）內是減函數．…（12分）

點評：本題主要考查了利用待定系數法求解函數解析式，函數單調性的定義在證明單調性中的應用，屬于基礎試題