Question

已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值為－，求正實數λ的值．

 

Answer 1

（1）|a＋b|＝2cosx（2）λ＝

【解析】(1)a·b＝cosx·cos－sinx·sin＝cos 2x.

∵a＋b＝，

∴|a＋b|2＝2＋2

＝2＋2＝2＋2cos 2x＝4cos2x.

∵x∈，∴cos x≥0.因此|a＋b|＝2cos x.

(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，

∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2，cos x∈[0,1]．

①當0＜λ≤1時，當cos x＝λ時，

f(x)有最小值－1－2λ2＝－，解得λ＝.

②當λ＞1時，當cos x＝1時，f(x)有最小值1－4λ＝－，

λ＝ (舍去)，綜上可得λ＝