Question

設數列的首項，前項和為，且，，成等差數列，其中.
（1）求數列的通項公式；
（2）數列滿足：，記數列的前項和為，求及數列的最大項.

Answer 1

（1）；（2），最大項是.

試題分析：（1）根據題意可知，考慮到當時，，因此可以結合條件消去得到數列的地推公式：當時，，
∴，∴，容易驗證當時，上述關系式也成立，從而數列是首項為1，公比為2的等比數列，即有；（2）根據（1）中求得的通項公式，結合條件，因此可以考慮采用裂項相消法來求其前項和：

     ，利用作差法來考察數列的單調性，可知當時，，即；當時，也有，但；當時，，，即，因此最大項即為.
試題解析：（1）由、、成等差數列知，                1分
當時，，∴，
∴，                             4分
當時，由得，                        5分
綜上知，對任何,都有,又，∴，.     6分
∴數列是首項為1，公比為2的等比數列，∴；          7分
(2)，    10分
     ，                      12分
，
當時，，即；當時，也有，但；當時，，，即，∴數列的的最大項是.                                   15分