Question

已知F₁、F₂為橢圓的焦點，P為橢圓上的任意一點，橢圓的離心率為

1

3

．以P為圓心PF₂長為半徑作圓P，當圓P與x軸相切時，截y軸所得弦長為

12 55

9

．
（1）求圓P方程和橢圓方程；
（2）求證：無論點P在橢圓上如何運動，一定存在一個定圓與圓P相切，試求出這個定圓方程．

Answer 1

分析：（1）根據離心率求得a和c的關系，進而求得b和c的關系，設出橢圓的標準方程，根據圓P與x軸相切時，PF₂⊥x軸，求得P的坐標和圓的半徑，進而根據弦長公式求得c，則橢圓的方程可得．
（2）以F₁為圓心，作圓M，使得圓P內切于圓M，公切點設為Q，則可推斷出點F₁、P、Q在一直線上，進而可知F₁Q=F₁P+PQ=F₁P+PF₂，求得a，進而可推斷出存在圓M：（x+2）²+y²=36滿足題設要求．

解答：解：（1）∵e=

1

3

，∴a=3c，b=2

2

c，
橢圓方程設為

x2

9c2

+

y2

8c2

=1，
當圓P與x軸相切時，PF₂⊥x軸，故求得P（c，±

8

3

c），圓半徑r=

8

3

c，
由2

r2-c2

=

12 55

9

得c=2，
∴橢圓方程為

x2

36

+

y2

32

=1，
此時圓P方程為(x-2)2+(y±

16

3

)2=

256

9

．
（2）以F₁為圓心，作圓M，使得圓P內切于圓M，公切點設為Q，
則點F₁、P、Q在一直線上，
從而F₁Q=F₁P+PQ=F₁P+PF₂=2a=12，
∴存在圓M：（x+2）²+y²=144滿足題設要求．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，橢圓與圓的位置關系等．考查了分析問題和解決問題的能力．