Question

四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E點滿足＝.

(Ⅰ)求證：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－D的大小；

(Ⅲ)在線段BC上是否存在點F使得PF∥面EAC？若存在，確定F的位置；若不存在，請說明理由

Answer 1

解：(Ⅰ)證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC   又∵PB⊥BC　∴BC⊥面PAB　∴BC⊥PA

同理CD⊥PA　∴PA⊥面ABCD                         

(Ⅱ)在AD上取一點O使AO＝AD，連接E，O，則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　過點O做

OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角  

在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

∴HO＝AOsin45°＝·＝，∴tan∠EHO＝＝2，

∴二面角E－AC－D等于arctan2                                  

(Ⅲ)當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：

∵AD∥2FC，∴＝＝，又由已知有＝，∴PF∥ES

∵PF面EAC，EC⊂面EAC　∴PF∥面EAC，