Question

21.

    如圖，橢圓Q：=1(a＞b＞0)的右焦點為F(c，0)，過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P為線段AB的中點.

    (1)求點P的軌跡H的方程；

    (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).

    設軌跡H的最高點和最低點分別為M和N.當θ為何值時，△MNF為—個正三角形?

Answer 1

如圖，

（1）設橢圓Q：=1上的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設P點坐標為P（x，y），則

由①-②得

b²(x₁-x₂)2x+a²(y₁-y₂)2y=0.

1°當AB不垂直x軸時，x₁≠x₂

得到化簡得：

b²x²+a²y²-b²cx=0……（*）

2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（*）

所以點P的軌跡H的方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0

（2）因為軌跡H的方程可化為：

∴M（），N（），F(c，0)，使△MNF為一個正三角形時，

 

則，即a²=3b².

由于a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤)，

則1+cosθ+sinθ=3sinθ，得θ=2arctan(或表示為θ=arctan).