Question

已知直角坐標平面上點Q（k，0）和圓C：x²+y²=1；動點M到圓的切線長與Q|
的比值為2．
（1）當 k=2 時，求點M 的軌跡方程．
（2）當 k∈R 時，求點M 的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，通過解直角三角形表示出切線長，利用兩點距離公式表示出|MQ|的長，利用已知條件及k=2求出點M 的軌跡方程．
（2）先求出軌跡方程，通過配方化簡方程，通過對等式右邊的式子分類討論得到動點的軌跡．

解答：設點M的坐標為（x，y）
則點M到圓的切線長|MA|=

MO2-AO2

=

x2+y2-1

|MQ|=

(x-k)2+y2

（1）當k=2時，

|MA|

|MQ|

=

x2+y2-1

(x-2)2+y2

=2
化簡得3x²+3y²-16x+17=0即為點M的軌跡方程．
（2）當k∈R時

|MA|

|MQ|

=

x2+y2-1

(x-k)2+y2

=2，
∴x²+y²-1=4[（x-k）²+y²]
化簡得點M的軌跡方程為：3x²+3y²-8kx+4k²+1=0
整理得：x2+y2-

8

3

kx+

4k2+1

3

=0即(x-

4

3

k)2+y2=

4k2-3

9

∴k＞

3

2

或k＜-

3

2

時，點M的軌跡是以(

4k

3

，0)為圓心，以

4k2-3

3

為半徑的圓；
k=

3

2

或k=-

3

2

時，點M的軌跡是點(

4k

3

，0)；-

3

2

＜k＜

3

2

時，該方程不代表任何圖形．

點評：本題考查求圓的切線長的方法、直接法求動點的軌跡方程、分類討論的數學方法．