Question

已知△ABC是邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形，點(diǎn)P是此三角形內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別以PA、PB、PC為直徑作圓，則這三個(gè)圓的面積之和的最大值與最小值的和為（　　）

• A、12π
• B、10π
• C、8π
• D、6π

Answer 1

分析：由△ABC是邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形，點(diǎn)P是此三角形內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求三個(gè)圓的面積之和的最大值與最小值的和，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到三角形三個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和的最值問(wèn)題．

解答：解：建立坐標(biāo)系 設(shè)A（3，0），B（0，4），C（0，0），P（x，y），△ABC內(nèi)切圓半徑為r．
∵三角形ABC面積 S=

1

2

AB×AC=

1

2

（AB+AC+BC）r=12，解得 r=1
即內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為 （1，1）
∵P在內(nèi)切圓上
∴（x-1）²+（y-1）²=1
∵P點(diǎn)到A，B，C距離的平方和為 d=x²+y²+（x-3）²+y²+x²+（y-4）²=3（x-1）²+3（y-1）²-2y+19=22-2y
顯然 0≤y≤2 即 18≤d≤22，
∴

9π

2

≤

πd

4

≤

11π

2

即以PA，PB，PC為直徑的三個(gè)圓面積之和最大值為

11π

2

最小值為

9π

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：考查了解析法求最值，求三個(gè)圓的面積之和的最大值與最小值的和轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到三角形三個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法．