Question

選修4－1：幾何證明選講
如圖，已知，過頂點的圓與邊切于的中點，與邊分別交于點，且，點平分.求證：.

Answer 1

見解析。

本題考查與圓有關的比例線段的求法，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．
由切、割線定理，得BP2=BM•BA，CP2=CN•CA，由BP=CP，知BM•BA=2CN2，由CN=NA=2BM，BA=BM+AM，能夠證明AM=7BM．
證法一：連結PM、PA、PN
∵BP是圓的切線，∴∠BPM＝∠BAP，∠CPN＝∠CAP
∴△BPM∽△BAP，△CPN∽△CAP
∴，……5分
即
∵，∴，
∵，∴，
∴……10分
證法二：由切、割線定理，得，……5分
∵，∴，
∵，∴，
∴……10分